2009年3月23日 星期一

兩個女兒的問題(機率的矛盾)

許多機率的問題常常和直覺互相違背,有研究顯示人類大腦天生不適合計算機率。簡單來說,我們常常被隨機現象"欺騙"。我這邊舉的幾個例子都是我被"愚弄"的問題,答案違背直覺就算了,更扯的是每次想的答案都不一樣...


先來看兩個女兒的問題。(假設生男生女機率一樣)

已知某個家庭有兩個孩子,至少其中一位是女孩,那麼這一家有兩個女兒的機率為何?

我最初的直覺是1/2,剩下一位是女生的機率就是1/2嘛。當然錯了...這裡面有個矛盾(陷阱),現在同樣的問題換個說法:

某天你遇到多年不見的朋友G,你問她最近怎樣,有沒有小孩? 有,她說有兩個。你問道:"其中有女孩嗎?" 她答:"有"。那麼,兩個都是女孩的機率有多少?
答案是1/3


我再思考一次,把它拿來和擲硬幣相比。原本的問題就是"丟硬幣兩次,已知至少一次出現正面的情況下,兩次都是正面的機率?" 因為不知道是條件中的正面是第一次還是第二次才出現,所以樣本空間是:{正正,正反,反正}。也就是至少有一位女孩的樣本空間是{女女,女男,男女},所以兩個女兒的機率是1/3。而一男一女的機率就是2/3。

現在將問題稍微變動

某天你遇到多年不見的朋友G,你問她最近怎樣,有沒有小孩? 有,她說有兩個。老大是女兒。那麼兩個孩子都是女孩的機率是多少?
答案: 1/2


這就是我一開始的想法,已知第一位是女的,第二位是女的機率就是1/2啊。老大已經被固定了,只剩老二可以變動~這意味著我一開始的直覺忽略了"次序"的問題。

再來看另外一個版本~

某天你遇到多年不見的朋友G,你問她最近怎樣,有沒有小孩? 有,她說有兩個。你問道:"其中有女孩嗎?" 她答:"有"。隔天,你看到G與一個小女孩在一起,你問道:"這是妳女兒嗎?", "是的"。那麼,G的兩個孩子都是女兒的機率是多少?
答案1/2


詭異的是這個問題提供的資訊和第一個問題一樣啊!! 為什麼是1/2啊啊啊啊啊?
我們一樣不知道次序啊!!
解答是這樣寫的:在隔天碰面之前,我們一樣不知道出生次序。可是,在看到小女孩之後,問題的意涵改變了! 現在的問題變成:"你沒有看到的那個小孩是女生的機率有多少?" 哇靠! 這就是我回答第一個問題時的直覺嘛。
就好比,你的朋友丟兩枚硬幣。遮住然後說,已知有一枚是正面,那另外一枚是正面的機率是多少? (1/3) 然後如果他把正面那一枚硬幣給你看,那麼剩下那一枚硬幣是正面的機率就從1/3變成1/2了,真不可思議......

這讓我想到電影<決勝21點>的那個機率問題~

1 則留言:

  1. 最後一題答案錯了,假如G真的有兩個女孩(原本的1/4),她選擇「你看到的這個女孩」帶出來的機率還得再乘以1/2,即1/8,以條件機率來看,兩個都是女孩的機率是
    (1/8)/(1/4+1/8)=1/3.
    更根本的關鍵不是次序問題,而是涉及選擇後,樣本空間數等於客觀樣本數(男男,男女,女男,女女)乘以選擇數(選哪個帶出場)。這問題同類於有名的山羊與車問題,主持人事前知道哪扇門後面有車,所以,當另外兩扇門後面都是山羊時,主持人可以任選一扇門開啟。
    最後一個問題要變成1/2,題目得稍作修正,限制選擇數,如:你規定G把老大帶給你看,並且的確是女生;或規定對手把特定某一枚攤開(比如你右邊的硬幣),的確是正面。

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