兩個女兒的問題(機率的矛盾)

許多機率的問題常常和直覺互相違背，有研究顯示人類大腦天生不適合計算機率。簡單來說，我們常常被隨機現象"欺騙"。我這邊舉的幾個例子都是我被"愚弄"的問題，答案違背直覺就算了，更扯的是每次想的答案都不一樣...


先來看兩個女兒的問題。(假設生男生女機率一樣)

已知某個家庭有兩個孩子，至少其中一位是女孩，那麼這一家有兩個女兒的機率為何?

我最初的直覺是1/2，剩下一位是女生的機率就是1/2嘛。當然錯了...這裡面有個矛盾(陷阱)，現在同樣的問題換個說法:

某天你遇到多年不見的朋友G，你問她最近怎樣，有沒有小孩? 有，她說有兩個。你問道:"其中有女孩嗎?" 她答:"有"。那麼，兩個都是女孩的機率有多少?
答案是1/3

我再思考一次，把它拿來和擲硬幣相比。原本的問題就是"丟硬幣兩次，已知至少一次出現正面的情況下，兩次都是正面的機率?" 因為不知道是條件中的正面是第一次還是第二次才出現，所以樣本空間是:{正正，正反，反正}。也就是至少有一位女孩的樣本空間是{女女，女男，男女}，所以兩個女兒的機率是1/3。而一男一女的機率就是2/3。

現在將問題稍微變動

某天你遇到多年不見的朋友G，你問她最近怎樣，有沒有小孩? 有，她說有兩個。老大是女兒。那麼兩個孩子都是女孩的機率是多少?
答案: 1/2

這就是我一開始的想法，已知第一位是女的，第二位是女的機率就是1/2啊。老大已經被固定了，只剩老二可以變動~這意味著我一開始的直覺忽略了"次序"的問題。

再來看另外一個版本~

某天你遇到多年不見的朋友G，你問她最近怎樣，有沒有小孩? 有，她說有兩個。你問道:"其中有女孩嗎?" 她答:"有"。隔天，你看到G與一個小女孩在一起，你問道:"這是妳女兒嗎?", "是的"。那麼，G的兩個孩子都是女兒的機率是多少?
答案1/2

詭異的是這個問題提供的資訊和第一個問題一樣啊!! 為什麼是1/2啊啊啊啊啊?
我們一樣不知道次序啊!!
解答是這樣寫的:在隔天碰面之前，我們一樣不知道出生次序。可是，在看到小女孩之後，問題的意涵改變了! 現在的問題變成:"你沒有看到的那個小孩是女生的機率有多少?" 哇靠! 這就是我回答第一個問題時的直覺嘛。
就好比，你的朋友丟兩枚硬幣。遮住然後說，已知有一枚是正面，那另外一枚是正面的機率是多少? (1/3) 然後如果他把正面那一枚硬幣給你看，那麼剩下那一枚硬幣是正面的機率就從1/3變成1/2了，真不可思議......

這讓我想到電影<決勝21點>的那個機率問題~